Materi Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks Metode Cramer

Materi Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks Metode Cramer

Jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

$x_{1}={\frac {det(A_{1})}{det(A)}},x_{2}={\frac {det(A_{2})}{det(A)}},\cdots ,x_{n}={\frac {det(A_{n})}{det(A)}}$

di mana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x_{1}+2x_{3}=6

-3x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=30

-x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=8

Jawab: bentuk matrik A dan b

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\-3&4&6\\-1&-2&3\\\end{bmatrix}}b={\begin{bmatrix}6\\30\\8\\\end{bmatrix}}

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A_{1}={\begin{bmatrix}6&0&2\\30&4&6\\8&-2&3\\\end{bmatrix}}A_{2}={\begin{bmatrix}1&6&2\\-3&30&6\\-1&8&3\\\end{bmatrix}}A_{3}={\begin{bmatrix}1&0&6\\-3&4&30\\-1&-2&8\\\end{bmatrix}}

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matriks-matriks di atas

maka,

x_{1}={\frac {det(A_{1})}{det(A)}}={\frac {-40}{44}}={\frac {-10}{11}}

x_{2}={\frac {det(A_{2})}{det(A)}}={\frac {72}{44}}={\frac {18}{11}}

x_{3}={\frac {det(A_{3})}{det(A)}}={\frac {152}{44}}={\frac {38}{11}}

R=E_{r}\cdots E_{2}E_{1}A

dan,

det(R)=det(E_{r})\cdots det(E_{2})det(E_{1})det(E_{A})

Jika A dapat diinvers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements, maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat diinvers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&0&1\\2&4&6\\\end{bmatrix}}

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.