Matriks kotak A disebut simetris jika ${\displaystyle A=A^{T}}$

Contoh matriks simetris ${\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-3\\-3&5\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&5\\4&-3&0\\5&0&7\\\end{bmatrix}}}$

Teorema

${\displaystyle A^{T}}$ adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA}$

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di invers, maka ${\displaystyle A^{-1}}$ adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa ${\displaystyle A=A^{T}}$ maka :

${\displaystyle (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}=A^{-1}}$

Yang mana membuktikan bahwa ${\displaystyle A^{-1}}$ adalah simetris.

Produk ${\displaystyle AA^{T}}$ dan ${\displaystyle A^{T}A}$

${\displaystyle (AA^{T})^{T}=(A^{T})^{T}A^{T}=AA^{T}}$ dan ${\displaystyle (A^{T}A)^{T}=A^{T}(A^{T})^{T}=A^{T}A}$

Contoh

A adalah matriks 2 X 3 A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-2&4\\3&0&-5\\\end{bmatrix}}}$

lalu ${\displaystyle A^{T}A}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\\4&-5\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-2&4\\3&0&-5\\\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}10&-2&11\\-2&4&-8\\-11&-8&41\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle AA^{T}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-2&4\\3&0&-5\\\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\-2&0\\4&-5\\\end{bmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}21&-17\\-17&34\\\end{bmatrix}}}$

Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka ${\displaystyle AA^{T}}$ dan ${\displaystyle A^{T}A}$ juga bisa di inverse.