Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

• Dengan Minor dan Kofaktor
• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
• Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A

M₁₁ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ = detM = a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂

${\displaystyle {\begin{bmatrix}+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\+&-&+&-&+&\cdots \\-&+&-&+&-&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\end{bmatrix}}}$

M₃₂ = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\\\end{bmatrix}}}$ = detM = a₁₁a₂₃ - a₁₃a₂₁

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ - a₁₃a₂₁

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode Minor dan kofaktor

c₁₁ = (-1)¹⁺¹${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&4\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ = 1 (-3) = -3

c₁₂ = (-1)¹⁺²${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&4\\3&1\\\end{bmatrix}}}$ = -1 (-8) = 8

c₁₃ = (-1)¹⁺³${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&5\\3&2\\\end{bmatrix}}}$ = 1 (-7) = -7

det(A) = 1 (-3) + 2 (8) + 3 (-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

det(A) = a₁₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ - a₁₂${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ + a₁₃${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{bmatrix}}}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

det(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ = 1${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&4\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ - 2${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&4\\3&1\\\end{bmatrix}}}$ + 3${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&5\\3&2\\\end{bmatrix}}}$ = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

det(A) = a₁₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ - a₂₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$ + a₃₁${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{bmatrix}}}$

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

det(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ = 1${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&4\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ - 4${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ + 3${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3\\5&4\\\end{bmatrix}}}$ = 1(-3) - 4(-4) + 3(-7) = -8

Metode Sarrus

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode sarrus

det(A) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&1&2\\4&5&4&4&5\\3&2&1&3&2\\\end{bmatrix}}}$ = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2) - (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53 - 61 = -8

Metode Operasi Baris Elementer

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka ${\displaystyle det(A)}$ adalah hasil kali elemen diagonal utama matriks tersebut.

A = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&4\\3&2&1\\\end{bmatrix}}}$ tentukan determinan A dengan metode OBE!

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-3&-8\\0&-4&-8\\\end{bmatrix}}}$B2-4B1, B3-3B1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-3&-8\\0&0&8/3\\\end{bmatrix}}}$B3-4/3B2