3x₁ + 4x₂ − 2x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&4&-2&5\\1&-5&2&7\\2&1&-3&9\\\end{bmatrix}}}$

• Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
• Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
• Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
• Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

• syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&-2&5\\0&-5&2&7\\0&0&-3&9\\0&0&-8&8\\\end{bmatrix}}}$

• syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&-2&5\\0&-5&2&7\\0&0&-3&9\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

• syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&-2&5\\0&1&2&7\\0&0&-3&9\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

• syarat 4: matriks di bawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Operasi Eliminasi Gauss

${\displaystyle x+2y+z=6}$

${\displaystyle x+3y+2z=9}$

${\displaystyle 2x+y+2z=12}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&1&6\\1&3&2&9\\2&1&2&12\\\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&1&6\\1&3&2&9\\2&1&2&12\\\end{array}}\right]}$ B1 x 1, Untuk mengubah a₁₁ menjadi 1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&1&6\\0&1&1&3\\2&1&2&12\\\end{array}}\right]}$ B2 - 1.B1, Untuk mengubah a₂₁ menjadi 0

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&1&6\\0&1&1&3\\0&-3&0&0\\\end{array}}\right]}$ B3 - 2.B1, Untuk mengubah a₃₁ menjadi 0

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&1&6\\0&1&1&3\\0&-3&0&0\\\end{array}}\right]}$ B2 x 1, Untuk mengubah a₂₂ menjadi 1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&1&6\\0&1&1&3\\0&0&3&9\\\end{array}}\right]}$ B3 + 3.B2, Untuk mengubah a₃₂ menjadi 0

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&1&6\\0&1&1&3\\0&0&1&3\\\end{array}}\right]}$ B3 x 1/3, Untuk mengubah a₃₃ menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)

${\displaystyle x+2y+z=6}$

${\displaystyle y+z=3}$

${\displaystyle z=3}$

${\displaystyle y+z=3}$

${\displaystyle y+3=3}$

${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle x+2y+z=6}$

${\displaystyle x+0+3=6}$

${\displaystyle x=3}$

Jadi nilai dari ${\displaystyle x=3}$ , ${\displaystyle y=0}$ ,dan ${\displaystyle z=3}$

Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

${\displaystyle x+2y+3z=3}$

${\displaystyle 2x+3y+2z=3}$

${\displaystyle 2x+y+2z=5}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\2&3&2&3\\2&1&2&5\\\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\2&1&2&5\\\end{array}}\right]}$ B2 - 2.B1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\0&-3&-4&-1\\\end{array}}\right]}$ B3 - 2.B1

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&-1&-4&-3\\0&0&8&8\\\end{array}}\right]}$ B3 - 3.B2

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&1&4&3\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ 1/8.B3 dan -B2

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&3&3\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ B2 - 4.B3

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&2&0&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ B1 - 3.B3

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\\\end{array}}\right]}$ B1 - 2.B2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari ${\displaystyle x=2}$ , ${\displaystyle y=-1}$ ,dan ${\displaystyle z=1}$